线性代数

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行列式

行列式的概念

首先要知道几个概念：

  • 逆序数：

    将1-n进行排序，枚举每对数字，若大数在小数前，则出现一个逆序，逆序的数量称为逆序数

  • 奇偶排列：根据逆序数的奇偶，称为奇排列或偶排列

比如23541，枚举每对数字23 25 24 21 35 34 31 ... 41出现逆序的次数为5，则它的逆序数为5，5是个奇数，所以称为奇排列。

了解了这几个概念，开始说行列式的定义，n阶行列式的定义为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & …a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & …a_{2n} \
a_{31} & a_{32} & …a_{3n} \
…
a_{n1} & a_{n2} & …a_{nn} \
\end{vmatrix}

\sum(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
$$
行列式是一个n*n的数表。两边用竖线括起，行列式是一种运算，运算的方法为：

  • 从每行中取出一个元素，每行的元素都不同列，求出乘积
  • 如果列标号是奇排序则加负号
  • 把所有情况求和，就是行列式的结果

比如现在有一个三阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1&2&3\
4&5&6\
7&8&9
\end{vmatrix}
$$
那么每一行取不重复的一列，总共可以有6种取法：123，132，213，231，321，312

接下来算每种情况的乘积：

123对应159，相乘为45，123的逆序数为0，所以是偶排列 ，不需要负号，

132对应168，相乘 为48，逆序数为1，所以是奇排列，需要加负号，

…

将所有乘积算出后相加，得到行列式的结果为0

特殊状态快速求解

通过基础概念去运算，可以看到非常的繁琐，而对于一些特殊的行列式，通过公式快速得出结果

  • 二阶行列式：

    二阶行列式只有两种取法，12和21，而21的逆序数为1，是奇排列，需要加负号，所以二阶行列式的计算公式为：

    主对角线乘积（从左上到右下）-副对角线乘积（从右上到左下）

  • 有多个元素为0：

    当有多个元素为0时，可以直接通过定义求值，因为0乘以任何数都为0，会去除很多种取值

  • 对角度、上/下三角行列式：

    形如：
    $$
    \begin{vmatrix}a_{11}&0&…&0\0&a_{22}&…&0\\vdots&\vdots&\vdots\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\vdots&\vdots&\vdots\0&0&\cdots&a_{m}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&…&0\a_{21}&a_{22}&\vdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\prod a_{ii}
    $$
    如果主对角线下方是0，称为上三角行列式，下方是0称为下三角行列式（没写反，就是这样），全是0称为对角行列式。

    对于这几种情况，有且只有一种取值，就是取在主对角线上，所以他们的结果为

    对角线元素的乘积

  • 非特殊：

    没有0则创造0，可以通过行列式的性质进行转换，化简得到上下三角行列式

行列式的性质

通过行列式的性质，可以对行列式进行转换，化简，行列式的性质有：

  • 转置不变：

    将行和列调换，行列式的值不变，根据整个性质可知，以下性质同样适用于列

  • 逐行保数乘：（常用）

    如果某一行有公因数k，可以提到行列式外面；如果整个行列式都是公因数k，提到外边将变成 k的n次方

  • 逐行保加：

    某一行拆成两个数的和，可据此拆成两个行列式的和。用的不多

  • 交错性：

    交换行列式的任意两行或两列，行列式的值变成相反数，交换两次则负负得正。

  • 倍加不变：（用的最多，重点）

    把任意 一行乘以任意数加到另一行上，行列式的值不变

  • 同比化零：（从倍加不变推导）

    两行成比例，整个行列式为0

通过以上特性，可以将行列式转换为对角，上下三角行列式

行列式展开定理

学会之后可以更开的求值。

在学习之前，需要先理解两个概念：余子式和代数余子式：

  • 余子式Mij：

    对于元素ajj,把同行、同列的元素去掉，剩下的行列式称为它的**余子式Mij**。

  • 代数余子式Aij:
    $$
    {A_{ij}}=(-1)^{i+j} M_{ij}
    $$

了解之后，就能学习行列式的展开定理：

  • n阶行列式等于它任意一行的所有元素与代数余子式的乘积之和：
    $$
    D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}
    $$

  • 如果把余子式相应乘到另一行上，结果为0：
    $$
    D=a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots+a_{kn}A_{in} (i\neq k)
    $$

矩阵

矩阵的概念

由m*n个数排成的矩形数表称为矩阵，记为：
$$
A_{m\times n}=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}
$$
矩阵本身用大写字母表示，矩阵中的元素则用小写字母表示。

只有形状相同（行列数相同）且对应元素都相同的矩阵才相等

对于一些特殊的矩阵，有特定的名称：

  • 方阵：行数等于列数称为方阵，只有方阵有对应的行列式

  • 三角矩阵（针对方阵）：

    • 上三角矩阵：对角线左下方全为0
    • 下三角矩阵：对角线右上方全为0
    • 对角矩阵：只有对角线上的元素不是0，记为diag(a11,a22,…,ann)

  • 向量：若矩阵只有一行，称为行矩阵或行向量；只有一列称为列矩阵或列向量

  • 零矩阵：所有元素都是0，记为0或0m*n。且形状不同的零矩阵不相等

  • 单位矩阵In：对角元素都是1的对角矩阵

  • 数量矩阵：对角元素都相等的对角矩阵

  • 幂：

    • 只有A为方阵时，才有矩阵的幂A^k^，等于k个A相乘

    • 矩阵幂运算的性质与实数类似：
      $$
      A^0=I,A^k A^l=A^{k+l},\left(A^k\right)^l=A^{kl}\
      但是
      (AB)^{k}\neq A^{k}B^{k}
      $$

  • 矩阵的转置：

    • 将矩阵A的行列颠倒，称为矩阵的转置，记为A^T^

    • 矩阵转置的性质与乘方类似：
      $$
      (A^T)^T=A,(A+B)^T=A^T+B^T,(kA)^T=kA^T,(AB)^T=B^TA^T
      $$

    • 根据转置结果，有以下特殊矩阵且都是方阵：

      • 对称矩阵：A=A^T^
      • 反对称矩阵：转置后所有的元素变为相反数，A^T^=-A，对角元素必然都是0（因为转置不影响对角线元素，0的相反数还是0）。

      若A、B是同阶的对称或反对称矩阵，则A+B、kA、kB也是对称或非对称矩阵，但AB不一定是

  • 矩阵的逆：若A为方阵，存在矩阵B使AB=BA=I，则成方阵A可逆，B是A的逆矩阵A^-1^

    逆矩阵的性质有：

    • 若A可逆，则逆矩阵唯一

    • 若A可逆，则A^-1^也可逆，(A^-1^)^-1^=A

    • (AB)^-1^ = B^-1^A^-1^

    • (A^T^)^-1^ = (A^-1^)^T^

    • (kA)^-1^ = k^-1^A^-1^

    • |A^-1^| = |A|^-1^

    求逆矩阵的方法：

    • 待定系数法：麻烦没人用

    • 伴随矩阵法：
      伴随矩阵是指n阶方阵各元素代数余子式构成矩阵的转置，称为伴随矩阵A^^
      $$
      AA^{      }=A^{*}A=|A|I
      $$

      矩阵可逆等价于
      $$
      |A|\neq0
      $$

      伴随矩阵的性质有：
      $$
      |A^*|=|A|^{n-1} (A^T)^*=(A^*)^T,(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}
      $$

    • 初等行变换法：

      对矩阵【A|I】进行初等行变换，将A变换为一个单位矩阵（对角线全1其余0），同时I同步进行行变换。

      如果成功则变换后的I就是要求的逆矩阵；如果A变换时出现全0行，则说明A不可逆

矩阵的运算

  • 同型矩阵的线性运算：

    • 矩阵的加减乘、负矩阵：对应元素加减
    • 数乘：所有元素都乘以这个数

    线性运算满足交换律、结合律、分配律

  • 矩阵的乘法：

    • 可乘原则：前一个矩阵的列数=后一个矩阵的行数（前列数=后行数）只有满足这个条件才能相乘

    • 乘积阶数：两个矩阵相乘后的大小为：前行数*后列数（左行右列中相等）
      $$
      A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}
      $$

    • 乘积元素：Cij是A的第i行元素与B的第j列元素，对应相乘后，求和（左行右列中求和）
      $$
      AB=\left(a_{ij}\right){m\times s}\cdot\left(b{ij}\right){s\times n}=\left(c{ij}\right){m\times n}=C, c{ij}=\sum a_{ik}b_{kj}
      $$
      比如两个2*2的矩阵相乘，一个为A(1,2|3,4)另一个为B(2,2|3,4)，则它们相乘的结果为2*2的矩阵C，则
      $$
      \begin{aligned}C_{11}&=A_{11}\times B_{21}+A_{12}\times B_{21}+A_{13}\times B_{31}\end{aligned}
      $$

      结果为8

矩阵与行列式的关系

若A为方阵，则有对应的行列式，记为|A|或det(A)
$$
|kA|=k^{n}A , |AB|=|A||B| , |A^{k}|=|A|^{k} , |A^{T}|=|A|\
注意\
|A+B|\neq|A|+|B|
$$

矩阵的初等行变换

和行列式类似：

  • 对换：

    交换i，j两行的位置，和行列式不一样，不需要加负号

  • 倍乘：

    将第i行变为C倍，c不等于0

  • 倍加：

    将第i行的k倍加到第j行

矩阵的秩

矩阵的秩的概念

k阶段子式：从矩阵A中任取k行k列，构成的行列式称为A的k阶子式

对于矩阵A，若存在r阶子式不为0，但所有r+1阶子式都为0，则r称为矩阵的秩，记为r(A)。零矩阵的秩是0

矩阵的秩的求法

对矩阵做初等行变换，变换为阶梯矩阵，并尽可能地把一行化为零。最终的阶梯矩阵的非零行数，就是矩阵的秩。

如：
$$
\left.A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&3&4\-1&2&-4&1&0\2&1&3&-2&-10\-2&1&-5&1&3\end{array}\right.\right]\to\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&3&4\0&1&-1&1&1\0&-3&3&-8&-18\0&5&-5&7&11\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&3&4\0&1&-1&1&1\0&0&0&1&3\0&0&0&0&0\end{array}\right]
$$
非零行有三行，故r(A)=3

矩阵的秩的性质

  • 基本性质：
    $$
    0\leq r(A)\leq\min{m,n}
    $$

  • 满秩矩阵的性质

    • 可逆矩阵满秩r(A)=n；不可逆矩阵不满秩r(A)<n
    • 初等变换不改变矩阵的秩，乘可逆矩阵不改变矩阵的秩
    • 左乘列满秩、右行满秩矩阵，不改矩阵的秩

  • 矩阵运算的秩的性质

    • $$
      r({A+B})\leq r(A)+r(B)
      $$

    • $$
      r({kA})={r(A)}\quad(k\neq0)
      $$

    • $$
      &\bullet r(A)+r(B)-n\leq r(\underline{AB})\leq\min{r(A),r(B)}(n\text{为A的列数、B的行数})\&\bullet \text{若}AB=0 , \text{则}r(A)+r(B)\leq n\&\bullet \text{若}AB=0 , \text{且}A\text{列满秩,则}B=0 ; B \text{行满秩,则}A=0\
      $$

    • $$
      r(A)=r(\underline{A^T})=r(AA^T)=r(A^TA)
      $$

    • $$
      \text{对于n}\geq2\text{阶方阵,}r(\underline{A^*})=\begin{cases} n r(A)=n\ 1 r(A)=n-1\ 0 r(A)\leqslant n-2\end{cases}
      $$

线性方程组

线性方程组的概念

  • 普通形式：
    $$
    \left.\left{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\…\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.\right.
    $$
    如果等式右边全为0，则称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组

  • 矩阵形式：
    $$
    设A= ( a_ij) _{m\times n}(即把未知数系数取出作为一个矩阵), \vec{X} = ( x_1, x_2, \cdots , x_n) ^T(解x1到xn作为一个向量), \vec{b} = ( b_1, b_2, \cdots , b_n) ^T(右边系数也写为一个向量),\
    线性方程组可化为A\vec{X}=\vec{b}\
    其中，A称为系数矩阵，[A|b] 称为增广矩阵。如果A可逆，当然可以直接求解 \vec{X}=A^{-1}\vec{b}
    $$

线性方程组的求解

利用初等行变换，将增广矩阵化为阶梯矩阵

  • 若系数矩阵某行为0，但结果不为0，比如“0 0 0 | 1”，无解

  • 若系数矩阵有全0行，且结果同样为0，比如“0 0 0 | 0”，有解

    • 当有解时，若未知数个数=非0行数（也就是秩），有限解，直接写出结果
    • 当有解时，若未知数个数>非0行数（也就是秩），无穷解，需要写出通解

向量

向量的概念：

  • n*1矩阵称为列向量，反之行向量
  • 向量a一般默认为列向量
  • 向量的长度为所有元素的平方和去开根
  • 所有分量为0的向量称为零向量，长度为1的向量称为单位向量
  • m*n的矩阵可以看成m个行向量组成或n个列向量组成

向量的运算

  • 线性运算

    n维向量的加、乘只需逐元素运算即可，且满足交换律、分配律、结合律

特征值和特征向量

特征值和特征向量的概念

对于n阶方阵，若存在数k和非零向量X，使得AX=kX

则称k是A的特征值，X是A的属于特征值k的特征向量

特征值与特征向量的计算

使用公式
$$
f_A(k)=|kI-A|=0
$$
其中I是单位矩阵，kI即为：
$$
\left.\left[\begin{matrix}k&0&0\0&k&0\0&0&k\end{matrix}\right.\right]
$$
化简后求出值即为特征值

之后将各个依次特征值带入方程算出对应的特征向量即可
$$
(k I-A)X=0
$$